PapaKarlo
Advanced Member | Редактировать | Профиль | Сообщение | Цитировать | Сообщить модератору Размышления о некоторых задачах, встречавшихся в ветке, и о предложенных решениях. evle [/q] Проводится лотерея. Есть три двери, за одной из которых автомобиль. Правила следующие: Ведущий просит игрока указать одну из дверей. После этого он оставляет указанную дверь закрытой, но открывает одну из оставшихся, за которой нет машины. После этого он предлагает игроку поменять свой выбор, либо оставить его неизменным. Что должен сделать игрок, чтобы повысить вероятность выигрыша?[/q] albel Цитата: с дверями всё вроде просто. Таки надо менять дверь. Это должно на треть повысить вероятность выигрыша. Т.е. если исходно мы выбирали произвольную дверь с веоятностью 1/3, то открывание двери без машины ведущим апостериорно не влияет на наш выбор, таким образом, вероятность машины за первой дверью остаётся прежней - 1/3. Но поскольку мы теперь точно знаем, что за одной из оставшихся дверей машины нет, то вероятность нахождения машины за другой оставшейся дверью возрастёт до 2/3. Вроде бы так. Нет? | evle Цитата: Правильно. Что-то в доказательстве мне не нравится, больно просто получилось, но не могу понять, что. | Да нет, неправильно. И именно поэтому, думается мне, Цитата: Что-то в доказательстве мне не нравится | Сначала поясню "на пальцах". 1) В ситуации, когда одна дверь открыта, две остальные абсолютно равноправны. Ведь чем они отличаются с точки зрения игрока? Только тем, что он указал на нее ранее. Однако ни это действие игрока, ни последующие действия ведущего не дают никакой информации об обеих оставшихся закрытыми дверях, которая (информация) позволила отличить их друг от друга. 2) Давайте проведем мысленный эксперимент. После открытия третьей двери, но до произведения игроком повторного выбора машина переставляется. Фактически это ничего не меняет для игрока - ведь он обладает лишь одной информацией: за одной из двух закрытых дверей находится машина. Теперь вопрос - а что же не нравится (иными словами - где ошибка) в рассуждениях albel? Сначала два определения. 1) Стохастическим экспериментом называется эксперимент, который проводится (может быть проведен) бесконечное количество раз, но каждый раз с одиними и теми же начальными условиями. Иными словами, результаты предыдущего эксперимента не влияют на исход последующего. 2) Вероятностью исхода А стохастического эксперимента называется отношение количества реализовавшихся исходов А к общему числу исходов - в идеале при бесконечно большом количестве проведений эксперимента. Исход А называется благоприятным исходом. Из определения следует, что вероятность - величина теоретическая, т.к. стохастический эксперимент на практике не реализуем. Однако мы имеем право говорить о вероятности, полученной путем умозрительным. Но хватит теории (хотя для дальнейших рассуждений очень важно помнить об определениях). Итак, все три двери закрыты, машина стоит за одной из них (заметим, с вероятностью, равной единице - в противном случае мы имеем дело с надувательством со стороны организаторов лотореи ). Игрок указывает на некоторую дверь, и с вероятностью 1/3 он укажет на дверь, за которой находится машина. Заметим, что значение "1/3" справедливо лишь для некоторого усредненного игрока; иными словами, выбор конкректного игрока вовсе не обязательно имеет равномерное распределение вероятности, и лишь проводя стохастический эксперимент в идеале с бесконечным количеством игроков, мы получим величину 1/3. Но все это не имеет ровным счетом никакого значения. Почему? Да потому, что выбор игрока на первой фазе лишь дает возможность ведущему в соответствии с условиями лотореи открыть дверь, за которой машины нет. На этом условия эксперимента меняются, и никакие значения вероятностей для проведенного эксперимента не оказывают влияния на дальнейший ход событий. Есть сомнения в том, что про 1/3 можно забыть? Хорошо, проведем такой умозрительный эксперимент: откроем и вторую дверь (какую, не важно). Ну как, вероятность нахождения машины за дверью, указанной игроком, все еще равна 1/3? Предположение Цитата: вероятность машины за первой дверью остаётся прежней - 1/3 | ошибочно. Итак, что же мы имеем теперь? Теперь вместо трех закрытых дверей мы имеем две, за одной из которых находится (хочется верить ) машина. Чем же отличается эта ситуация от предыдущей? Кроме количества дверей - ничем. Представьте себе, что некий опоздавший зритель явился в этот момент в зал, причем он оказался миллионным посетителем лотереи. По правилам теперь он играет дальше. Но он же ничего не знает о том, на какую из закрытых дверей указал предыдущий игрок. Поэтому обе двери равноправны. Ну, а раз так, то, применяя наши рассуждения, использованные при трех закрытых дверях к данному случаю, получим вероятность угадывания двери... правильно, 1/2! Таким образом, на вопрос Цитата: Что должен сделать игрок, чтобы повысить вероятность выигрыша? | можно ответить что угодно: молиться, пытаться прочитать мысли ведущего, заглянуть за дверь, но ни одно из двух предлагаемых в условии задачи действий, увы, не поможет повысить вероятность выигрыша. И вообще, все пассажи о первом выборе и об открытии первой двери ИМХО призваны сбить с толку решающего. Если приведенные рассуждения неубедительны, попробуем вспомнить определение вероятности и подсчитать ее. При этом мы будем подсчитвать количество возможных и количество благоприятных исходов, начиная с размещения машины, чтобы предотвратить возможное возражение о "некорректности" неучета всех событий, происходивших до решающего выбора игрока. Итак, имеются три двери: А, Б и В. За одной из них находится машина. Количество вариантов: 3 (три). Игрок указывает на одну из дверей. Количество возможных вариантов: 3х3=9. При этом в 3 (трех) вариантах выбрана дверь, за которой машина есть, в 6 (шести) - за которой машины нет. В любом из первых трех вариантов у ведущего есть две возможности выбрать дверь, которая будет открыта - всего шесть вариантов. В каждом из шести вариантов у игрока есть выбор из двух вариантов: либо оставить свой выбор и выиграть (всего 6х1 = шесть благоприятных исходов), либо изменить выбор и проиграть (также 6х1 = шесть благоприятных исходов). В любом из вторых шести вариантов первого выбора игрока у ведущего есть лишь один вариант открытия третьей двери (так как другую дверь, за которой машины нет, "заблокировал" игрок своим выбором). Опять имеем шесть вариантов действий ведущего. В любом из них точно также возможны шесть благоприятных исходов, если первоначальный выбор будет изменен, и шесть неблагоприятных исходов, если первоначальный выбор будет сохранен. Итого: если игрок изменит свой выбор, то в шести вариантах из двенадцати он выиграет (вероятность выигрыша равна 1/2). И точно также при сохранении выбора. Что и требовалось доказать. В следующей серии - рассуждение на тему шарика, который плавает в банке, которая стоит в лифте, который построил Джек... пардон, который Джек резко тянет вверх.
|